Bài giải:

Từ O kẻ OH $\bot $ AB, OK $\bot $BC.

Xét tứ giác HOBK ta có: $\widehat{OHB}$ = $\widehat{HBK}$ = $\widehat{BKO}$ = 90⁰

Suy ra: HOBK là hình chữ nhật

OB là tia phân giác $\widehat{HBK}$ nên HOBK là hình vuông.

Do đó: OH = OK.

Xét tam giác AOB vuông cân tại O ta có: OH $\bot $ AB

$\Rightarrow $ OH là trung tuyến ứng với cạnh AB

$\Rightarrow $OH = AH = HB = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$. 16 = 8 (cm)

Suy ra: OH = OK = 8 (cm)

Xét $\Delta $ AOE và $\Delta $BOF ta có:

$\widehat{OAE}$ = $\widehat{OBF}$

OA = OB

$\widehat{AOE}$ = $\widehat{BOF}$ (cùng phụ với $\widehat{EOB}$ )

$\Rightarrow $$\Delta $ AOE = $\Delta $BOF (g. c. g)

$\Rightarrow $AE = BF

Ta có: S_EBFO = S_EOB + S_BOF = $\frac{1}{2}$ OH. EB + $\frac{1}{2}$OK. BF

Mà: OH = OK nên S_EBFO = $\frac{1}{2}$ OH. EB + $\frac{1}{2}$OH. BF = $\frac{1}{2}$OH. (EB + BFF)

= $\frac{1}{2}$OH. (BE + AE) = $\frac{1}{2}$OH. AB = $\frac{1}{2}$. 8. 16 = 64 (cm²)

Vậy  S_EBFO = 64 cm².