Bài giải:

P = $\frac{12{{x}^{2}}-6x+4}{{{x}^{2}}+1}$ = $\frac{9{{x}^{2}}-6x+1+3{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+1}$ = $\frac{9{{x}^{2}}-6x+1}{{{x}^{2}}+1}$ + $\frac{3({{x}^{2}}+1)}{{{x}^{2}}+1}$

P = $\frac{{{(3x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}+3$

Ta có: (3x – 1)²   $\ge $  0  với mọi x

x² + 1  > 0  với mọi x

Nên $\frac{{{(3x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}$    $\ge $  0  với mọi x

Suy ra:  $\frac{{{(3x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}+3$  $\ge $  3  với mọi x

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 3