Bài giải:

Từ B kẻ BH vuông góc với AD; từ C kẻ CK vuông góc với AD.

Đặt: KD = x; BC = y.

Chứng minh: BCKH là hình chữ nhật nên BC = HK = y

 Xét tam giác ACD vuông tại C ta có:

$\widehat{CDA}$ = 60⁰ nên AD = 2. CD và $\widehat{CAD}$

Suy ra: $\widehat{BAC}$= $\widehat{CAD}$= 30⁰

Ta có: $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BAC}$+ $\widehat{CAD}$= 30⁰ + 30⁰ = 60⁰

Do đó: ABCD là hình thang cân ($\widehat{BAD}$= $\widehat{CDA}$= 60⁰)

$\Rightarrow $ AB = CD

Chứng minh: $\Delta $ ABH = $\Delta $DCK (cạnh huyền- góc nhọn)

$\Rightarrow $AH = KD = x

Xét tam giác CKD vuông tại K ta có: $\widehat{CDK}$ = 60⁰ nên CD = 2. KD = 2x

Ta có: AD = AH + HK + KD = 2. KD + BC = 2. x + y.

Mà: AD = 2. CD nên 2x + y = 2. 2x

$\Rightarrow $y = 2x.

Chu vi hình thang ABCD là: AB + BC + CD +  AD = 20

Nên: 2x + y + 2x + 2x + y = 20

$\Rightarrow $6x + 2y = 20

$\Rightarrow $3x + y = 10

Thay y = 2x vào biểu thức ta có: 3x + 2x = 10

$\Rightarrow $5x = 10

$\Rightarrow $x = 2

Do đó: y = 2.2 = 4

Vậy: AD = 2.2 + 4 = 8 (cm).