Hướng dẫn

Đặt $w=x+yi,\text{ }\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Khi đó, điểm M biểu diễn số phức z có tọa độ là $\text{M}\left( x,y \right)$

Ta có: $w=\left( 3+4i \right)z+i$

$\Leftrightarrow z=\frac{w-i}{3+4i}=\frac{\left[ x+\left( y-1 \right)i \right]\left( 3-4i \right)}{\left( 3+4i \right)\left( 3-4i \right)}=\frac{3x+4\left( y-1 \right)+\left[ 3\left( y-1 \right)-4x \right]i}{25}$

Giả thiết bài toán: $\left| z \right|=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left[ \frac{3x+4\left( y-1 \right)}{25} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{3\left( y-1 \right)-4x}{25} \right]}^{2}}=16$

            $\begin{align}

  & \Leftrightarrow {{\left[ \frac{3x+4\left( y-1 \right)}{25} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{3\left( y-1 \right)-4x}{25} \right]}^{2}}=16 \\

 & \Leftrightarrow {{\left[ \frac{3x+4y-4}{25} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{3y-3-4x}{25} \right]}^{2}}=16 \\

 & \Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+16+24xy-32y-24x+9{{y}^{2}}+9+16{{x}^{2}}-18y+24x-24xy={{100}^{2}} \\

 & \Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+16+9{{y}^{2}}+9+16{{x}^{2}}={{100}^{2}} \\

 & \Leftrightarrow 25{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}-50y+25={{100}^{2}} \\

 & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1=400 \\

 & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{20}^{2}} \\

\end{align}$

            $\Rightarrow \text{M}\left( x,y \right)$ thuộc đường tròn tâm  $\text{I}\left( 0;1 \right)$ và có bán kính $r=20\Rightarrow $ Chọn đáp án C.