a) $\Delta AEM$ và $\Delta AFM$ có:
$\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90{}^\circ$
AM: cạnh chung
$\widehat{EAM}=\widehat{FAM}$ ($\Delta ABC$ cân tại A có AM là trung tuyến đồng thời là phân giác)
$\Rightarrow \Delta AEM=\Delta \text{AF}M$ (cạnh huyền – góc nhọn)
b) AM cắt EF tại P
$\Delta AEM=\Delta \text{AF}M\Rightarrow AE=\text{AF}\Rightarrow \Delta \text{EAF}$ cân tại A có AP là phân giác đồng thời là đường cao
$\Rightarrow AP\bot \text{EF}\Rightarrow \text{AM}\bot \text{EF}$
c) $\Delta A\text{IF}$ và $\Delta AKE$ có:
$\left. \begin{align} & \widehat{AFI}=\widehat{AEK}=90{}^\circ \\ & AF=AE \\ & \widehat{A}:chung \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \Delta AIF=\Delta AKE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
$\Rightarrow IF=KE\Rightarrow IM+MF=KM+ME$
$\Delta AEM=\Delta \text{AF}M\Rightarrow ME=MF$ $\Rightarrow IM=KM\Rightarrow \Delta IMK$ cân tại M
e) $\Delta AIF=\Delta AKE\Rightarrow AI=AK\Rightarrow \Delta IAK$ cân tại A có AN là trung tuyến
$\Rightarrow$ AN là phân giác của $\widehat{IAK}$
Mà: AM là phân giác của $\widehat{IAK}$
$\Rightarrow AM$ trùng AN, hay A, M, N thẳng hàng