${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2=0$ (1)
Ta có: $\Delta ={{\left[ -2\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}-2 \right)=4{{m}^{2}}-8m+4-4{{m}^{2}}+8=-8m+12$
Để phương trình (1) có hai nghiệm thì $\Delta \ge 0\Leftrightarrow -8m+12\ge 0\Leftrightarrow m\le \frac{3}{2}$
Theo hệ thức vi – ét ta có: $$\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right)\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$$
Theo đề bài ta có $2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=-m+6\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right) \\ & 2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=-m+6 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=4m-4 \\ & 2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=-m+6 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow 5{{x}_{2}}=5m-10$$\Rightarrow {{x}_{2}}=m-2$
$\Rightarrow {{x}_{1}}=2m-2-\left( m-2 \right)$$\Rightarrow {{x}_{1}}=m$
Thay ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=m-2$ vào (2) ta được:
$m\left( m-2 \right)={{m}^{2}}-2$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m={{m}^{2}}-2$
$\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = 1 thì phương trình có hia nghiệm thỏa mãn $2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=-m+6$