a) Vì MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) nên MA = MC
Mà OA = OC (=R) nên OM là đường trung trực của AC
$\Rightarrow AC\bot OM$
b) Ta có NC, NB là hai tiếp tuyến của (O) nên NC = NB
Mà MA = MC nên AM + BN = MC + CN = MN $\ge $ AB = 2R
Dấu “=” xảy ra khi C nằm chính giữa cung AB
Vậy AM + BN $\ge $ 2R
c) Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ∆ACB vuông tại C $\Rightarrow AC\bot CB$
Ta có: $MO\bot AC$, $AC\bot BD$ nên MO // BD
Mà O là trung điểm AB nên M là trung điểm AD $\Rightarrow $ AM = MD
Ta có: NC = NB (chứng minh trên), OC = OB (=R)
$\Rightarrow $ ON là đường trung trực của BC $\Rightarrow $$ON\bot BC$
Mà $BC\bot AE$ nên AE // ON
Mặt khác O là trung điểm của AB nên N là trung điểm của BE $\Rightarrow $ NB = NE
Vì OM là phân giác $\widehat{AOC}$, ON là phân giác $\widehat{BOC}$
Mà $\widehat{AOC},\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{MON}=90{}^\circ $
Áp dụng hệ thức lượng cho ∆MON vuông tại O, đường cao OC có:
$MC.NC=O{{C}^{2}}\Rightarrow MA.NB=O{{C}^{2}}\Rightarrow MD.NE=O{{C}^{2}}={{R}^{2}}$
Vậy tích MD.NE có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của C trên nửa đường tròn.