Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=mx+m+1$ cắt parabol $y=-{{x}^{2}}+4x$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ và đồng thời $d$ cắt trục tung tại điểm $C$ sao cho $AB=BC.$
Giải:
Gọi $C\in Oy$ có dạng: $C\left( 0;m+1 \right)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $-{{x}^{2}}+4x=mx+m+1$
${{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x+m+1=0$
$\Delta ={{m}^{2}}-12m+12>0$
$m\in \left( -\infty ;6-2\sqrt{6} \right)\cup \left( 6+2\sqrt{6};+\infty \right).$
Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ lần lượt là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Khi đó:
$A\left( {{x}_{1}};m{{x}_{1}}+m+1 \right)$ ; $B\left( {{x}_{2}};m{{x}_{2}}+m+1 \right).$
$A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}$; $B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-0 \right)}^{2}}+{{\left( m{{x}_{2}}+m+1-m-1 \right)}^{2}}$
$A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$ tương đương với ${{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=x_{2}^{2}+{{m}^{2}}x_{2}^{2}$
Hay ${{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=\left( {{m}^{2}}+1 \right)x_{2}^{2}$
Suy ra $x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$
${{x}_{1}}\left( {{x}_{1}}-2{{x}_{2}} \right)=0$
$\left[ \begin{align}
& {{x}_{1}}=0 \\
& {{x}_{1}}=2{{x}_{2}} \\
\end{align} \right.$
+) TH1: ${{x}_{1}}=0$ thì $m=-1.$
+) TH2: ${{x}_{1}}=2{{x}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{align}
& S=3{{x}_{2}}=4-m \\
& P=2x_{2}^{2}=m+1 \\
\end{align} \right.$
$2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}}=5$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}
& {{x}_{2}}=1. \\
& {{x}_{2}}=-\frac{5}{2}. \\
\end{align} \right.$
+ ${{x}_{2}}=1$ Thay vào ${{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x+m+1=0$
$\Leftrightarrow $${{1}^{2}}+\left( m-4 \right).1+m+1=0$
$\Leftrightarrow $$1+m-4+m+1=0$
$\Leftrightarrow m=1.$
+ ${{x}_{2}}=-\frac{5}{2}$ Thay vào ${{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x+m+1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( -\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\left( m-4 \right)\left( -\frac{5}{2} \right)+m+1=0$
$\Leftrightarrow m=\frac{23}{2}.$
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn $m\in \left\{ -1;1;\frac{23}{2} \right\}$