${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-2m+2=0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-2m+2 \right) > 0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1-4{{m}^{2}}+8m-8 > 0$

$\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+10m-7 > 0$

$\Leftrightarrow \left( 3m-7 \right)\left( 1-m \right) > 0$

$\Leftrightarrow 1 < m < \frac{7}{3}$

Theo Vi-et ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1$

${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-2m+2$

Khi đó: $A={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$

$={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2.\left( {{m}^{2}}-2m+2 \right)$

$=4-\left( {{m}^{2}}-6m+9 \right)$

$=4-{{\left( m-3 \right)}^{2}}$

Vì ${{\left( m-3 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow 4-{{\left( m-3 \right)}^{2}}\le 4$

A đạt giá trị lớn nhất là 4 $\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}=0$$\Leftrightarrow m=3$ (không thoả mãn)

Vậy không có giá trị nào của $m$ thoải mãn.