Gọi ƯCLN$\left( 3n+4,5n+1 \right)=d.$
Khi đó $\left\{ \begin{align}
& \left( 3n+4 \right)\vdots d \\
& \left( 5n+1 \right)\vdots d \\
\end{align} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{align}
& 5\left( 3n+4 \right)\vdots d \\
& 3\left( 5n+1 \right)\vdots d \\
\end{align} \right.$ suy ra $\left( 15n+20-15n-3 \right)\vdots d$
hay $17\vdots d.$
Để $3n + 4$ và $5n + 1$ có ước chung khác 1 thì $d = 17$.
Khi đó $\left\{ \begin{align}
& 3n+4=17{{k}_{1}} \\
& 5n+1=17{{k}_{2}} \\
\end{align} \right.\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}}\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$
Xét $3n+4=17{{k}_{1}}$, ta có 4 chia 17 dư 4 nên 3$n$ chia 17 dư 13, 3$n$ chia hết cho 3, $n < 30$ nên $3n < 90.$
Suy ra $3n\in \left\{ 17,30,47,64,81 \right\}.$
Thử các trường hợp, và thử lại vào $5n + 1$ ta thu được $n\in \left\{ 10,27 \right\}.$
Vậy $n\in \left\{ 10,27 \right\}$ thì $3n + 4$ và $5n + 1$ có ước chung khác 1.