Gọi (3n + 4; 5n + 1) = d
Ta có:
3n + 4 $\vdots $ d $\Rightarrow $ 5. (3n + 4) $\vdots $ d$\Rightarrow $ 15n + 20 $\vdots $ d
5n + 1 $\vdots $ d $\Rightarrow $ 3. (5n + 1) $\vdots $ d $\Rightarrow $ 15n + 3 $\vdots $ d
$\Rightarrow $ (15n + 20) – (15n + 3) $\vdots $ d
$\Rightarrow $ 17 $\vdots $ d
Để d khác 1 $\Rightarrow $ d = 17.
Ta có: 3n + 4 $\vdots $ 17
Mà 4 < 3n + 4 < 91 nên 3n + 4 $\in $ {17, 34, 51, 68, 85}
Mà 3n + 4 chia 3 dư 1 nên 3n + 4 $\in $ {34, 85}
- TH1: 3n + 4 = 34 $\Rightarrow $ n = 10
Ta có: 3n + 4 = 34; 5n + 1 = 51
(3n + 4; 5n + 1) = 17 (chọn)
- TH2: 3n + 4 = 85 $\Rightarrow $ n = 27
Ta có: 3n + 4 = 85; 5n + 1 = 136
(3n + 4; 5n + 1) = 17 (chọn)
Vậy n = 10 hoặc n = 27 là số cần tìm.