Gọi ƯCLN của $\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ và $2n+1$ là $d\left( d\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right).$
Khi đó $\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\vdots d,\,\,\left( 2n+1 \right)\vdots d$.
$\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\vdots d$ nên $n\vdots d$ hoặc $\left( n+1 \right)\vdots d$ hoặc $n,\left( n+1 \right)$ cùng chia hết cho $d.$
Xét $n\vdots d$ khi đó $2n\vdots d$, mà $\left( 2n+1 \right)\vdots d$ nên $\left( 2n+1-2n \right)\vdots d$ hay $1\vdots d$ suy ra $d=1.$
Tương tự xét hai trường hợp còn lại ta cũng thu được kết quả $d=1.$
Vậy ƯCLN của $\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ và $2n+1$ là 1 $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right).$