Bài 1. Tìm số nguyên tố p để $p+2,\,p+6,\,\,p+8,\,\,p+12,\,\,p+14$ đều là các số nguyên tố.
Giải
• Với p = 2. Khi đó ta được: p + 2 = 2 + 2 = 4 (không là số nguyên tố)
• Với p = 3. Khi đó ta được:
$p+2=3+2=5;\,p+6=3+6=9;\,p+8=3+8=11;\,\,p+12=3+12=15;\,\,p+14=3+14=17$ (9 và 15 không là số nguyên tố)
• Với p = 5. Khi đó ta được:
$p+2=7;\,\,p+6=11;p+8=13;\,\,p+12=17;\,\,p+14=19$ (thỏa mãn)
• Với p > 5. Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 5. p chia 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 hay p có dạng: 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4.
Nếu p có dạng 5k + 1. Khi đó: p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Nếu p có dạng 5k + 2. Khi đó: p + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Nếu p có dạng 5k + 3. Khi đó: p + 2 = 5k + 3 + 2 = 5k + 5 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Nếu p có dạng: 5k + 4. Khi đó: p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 10 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Vậy p = 5.

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của $A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{20}}$
Giải
$A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{20}}$

$2A={{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{20}}+{{2}^{21}}$

$2A-A={{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{20}}+{{2}^{21}}-\left( 2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{20}} \right)$

$A={{2}^{21}}-2$

Ta có : ${{2}^{21}}-2={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{5}}.2-2=\overline{....6}\times 2-2=\overline{....2}-2=\overline{....0}$

Vậy chữ số tận cùng của A là 0

Bài 1. Tìm số nguyên tố p để
p
+
2
,
p
+
6
,
p
+
8
,
p
+
12
,
p
+
14
đều là các số nguyên tố.
Giải
• Với p = 2. Khi đó ta được: p + 2 = 2 + 2 = 4 (không là số nguyên tố)
• Với p = 3. Khi đó ta được:
p
+
2
=
3
+
2
=
5
;
p
+
6
=
3
+
6
=
9
;
p
+
8
=
3
+
8
=
11
;
p
+
12
=
3
+
12
=
15
;
p
+
14
=
3
+
14
=
17
(9 và 15 không là số nguyên tố)
• Với p = 5. Khi đó ta được:
p
+
2
=
7
;
p
+
6
=
11
;
p
+
8
=
13
;
p
+
12
=
17
;
p
+
14
=
19
(thỏa mãn)
• Với p > 5. Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 5. p chia 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 hay p có dạng: 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4.
Nếu p có dạng 5k + 1. Khi đó: p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Nếu p có dạng 5k + 2. Khi đó: p + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Nếu p có dạng 5k + 3. Khi đó: p + 2 = 5k + 3 + 2 = 5k + 5 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Nếu p có dạng: 5k + 4. Khi đó: p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 10 chia hết cho 5 nên không là số nguyên tố.
Vậy p = 5.

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của
A
=
2
+
2
2
+
2
3
+
.
.
.
.
+
2
20

Giải
A
=
2
+
2
2
+
2
3
+
.
.
.
.
+
2
20


2
A
=
2
2
+
2
3
+
.
.
.
.
+
2
20
+
2
21


2
A
−
A
=
2
2
+
2
3
+
.
.
.
.
+
2
20
+
2
21
−
(
2
+
2
2
+
2
3
+
.
.
.
.
+
2
20
)


A
=
2
21
−
2


Ta có :
2
21
−
2
=
(
2
4
)
5
.2
−
2
=
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
.
.
.
.6
×
2
−
2
=
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
.
.
.
.2
−
2
=
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
.
.
.
.0


Vậy chữ số tận cùng của A là 0