Bài giải:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét $\Delta $AMB và $\Delta $DMC ta có:

MA = MD;BM = MC (giả thiết)

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow $ $\Delta $AMB = $\Delta $DMC  (c.g.c)

$\Rightarrow $AB = CD

Xét $\Delta $ACD ta có: AD < AC + CD nên AD < AC + AB

Do đó: AD = 2. AM (vì M là trung điểm của AD)

Nên 2.AM < AC + AB

Suy ra: AM < $\frac{AB+AC}{2}$

Vậy AM < $\frac{b+c}{2}$

Đáp án đúng là: A