Bài giải:

Xét tam giác ABC đều, ngoại tiếp đường tròn (O; R)

$\Rightarrow $ O là giao điểm của 3 đường phân giác của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AO$ là phân giác của $\widehat{BAC}$, CO là phân giác của góc $\widehat{ACB}$

$\Delta ABC$đều $\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{BCA}={{60}^{o}}$

$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OCA}={{30}^{o}}$ $\Rightarrow \Delta OAC$ cân tại O

AC là tiếp tuyến của (O) tại E $\Rightarrow OE\bot AC$ tại E

Xét tam giác OAE vuông tại E có:

$AE=OE.\cot \widehat{OAC}=R.\cot {{30}^{o}}=R\sqrt{3}$

$\Delta OAC$cân tại O có OE là đường cao $\Rightarrow $OE là đường trung tuyến

$\Rightarrow AC=2.AE=2.R\sqrt{3}=2R\sqrt{3}$