Bài giải:

Hoành độ giao điểm I của 2 đường thẳng là nghiệm của phương trình:

$(2{{m}^{2}}+1)x+2m-1={{m}^{2}}x+m-2\Leftrightarrow ({{m}^{2}}+1)x=-m-1$

$\Leftrightarrow x=-\frac{(m+1)}{{{m}^{2}}+1}$

Tung độ của giao điểm là: $y={{m}^{2}}x+m-2=-{{m}^{2}}.\frac{m+1}{{{m}^{2}}+1}+m-2\Leftrightarrow y=\frac{-3{{m}^{2}}+m-2}{{{m}^{2}}+1}$

Ta được điểm $I\left( -\frac{(m+1)}{{{m}^{2}}+1};\frac{-3{{m}^{2}}+m-2}{{{m}^{2}}+1} \right)$

Ta có: $y=\frac{-3({{m}^{2}}+1)+(m+1)}{{{m}^{2}}+1}=-3+\frac{m+1}{{{m}^{2}}+1}=-3-x$

Vậy I luôn thuộc đường thẳng y = -x – 3.