Bài giải :

Đường thẳng cần tìm có dạng  y = ax + b (a khác 0)

Vì đường thẳng này đi qua điểm $P\left( 1\,;\,\,\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)$và  $Q\left( \sqrt{3}\,;\,\,3+\sqrt{2} \right)$ nên suy ra :

$\sqrt{3}+\sqrt{2}=a.1+b$   (1)

$3+\sqrt{2}=a.\sqrt{3}+b$   (2)

Từ (1), suy ra $b=\sqrt{3}+\sqrt{2}-a$. Thay vào (2), ta được :

$3+\sqrt{2}=a.\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-a$

Suy ra $a=\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}$ ; $b=\sqrt{2}$

Đường thẳng cần tìm là $y=\sqrt{3}x+\sqrt{2}$

Vậy hệ số góc của đường thẳng trên là $\sqrt{3}$.