Bài giải:

+) Trường hợp 1: p = 2.

p² + 44 = 2² + 44 = 48 không là số nguyên tố (loại)

+) Trường hợp 2: p = 3.

p² + 44 = 3² + 44 = 53 là số nguyên tố.

suy ra: p = 3 thỏa mãn.

+) Trường hợp 3:

Vì p là số nguyên tố nên p có dạng: 3k + 1; 3k + 2

Với p = 3k + 1

             p² + 44 = (3k + 1)² + 44

                        = (3k + 1)(3k + 1) + 44

= 9k² + 3k + 3k + 1 + 44

= 9k² + 6k + 45 = 3(3k² + 2k + 15)

Mà:  3(3k² + 2k + 15) $\vdots $ 3 nên p² + 44   là hợp số (loại)

Với p = 3k + 2

            p² + 44  = (3k + 2)² + 44

= (3k + 2)(3k + 2) + 44

 = 9k² + 6k + 6k + 4 + 44

= 9k² + 12k + 48

= 3(3k² + 4k + 16)

            Mà: 3(3k² + 4k + 16)$\vdots $ 3 nên p² + 44   là hợp số (loại)

Vậy p = 3.