Hướng Dẫn. Tính bán kính khối cầu.

Gọi O là tâm đường tròn tam giác ABC suy ra O là trọng tâm, H là trung điểm AB, kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC tại N ta được $NO\bot (ABC)$, gọi M là trung điểm SC, HM cắt NO tại I
Ta có HS=HC nên $HM\bot SC\Rightarrow \text{ }\!\!\acute{\mathrm{I}}\!\!\text{ }=IC=IA=IB=r$
Ta có $\angle NIM=\angle HCS={{45}^{0}}$, $\frac{CN}{CS}=\frac{CO}{CH}=\frac{2}{3}\Rightarrow CN=\frac{2}{3}\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow SM=\frac{\sqrt{6}}{4},\,SN=\frac{1}{\sqrt{6}}$suy ra $NM=SM-SN=\frac{\sqrt{6}}{12}$.
$\Delta NMI$ vuông tại M $\tan {{45}^{0}}=\frac{NM}{IM}\Rightarrow IM=NM=\frac{\sqrt{6}}{12}$
Suy ra $r=IC=\sqrt{I{{M}^{2}}+M{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{12}}$
Vậy $V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{5\sqrt{15}\pi }{54}$ suy ra đáp án B.