GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Vui lòng đăng nhập để xem bài học!

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ HỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1,$f\left( x \right)\ge {{A}^{2}}+m\ge m$ $\Rightarrow f\left( x \right)\ge m$ $\Rightarrow m=GTNN\,cua\,f\left( x \right)$

2,$f\left( x \right)=-{{A}^{2}}+m\le m$ $\Rightarrow f\left( x \right)\le m$$\Rightarrow m=GTLN\,cua\,f\left( x \right)$

3, $f\left( x \right)=A+\frac{m}{B}$ cần lưu ý đánh giá B

4,${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$

${{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}+1$

${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab-{{b}^{2}}$

II, BÀI TẬP

VD: Tìm GTLN và GTNN của:

Giải

$P={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-\sqrt{x}+1$

 $=\left( {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)+\frac{3}{4}$

$={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Do ${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên $P\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vây GTLN của $P=\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

VD: $Q=x+\sqrt{x}+1\left( x\ge 0 \right)$

$Q={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

$={{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Với $x\ge 0\Rightarrow {{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge \frac{1}{4}$

Vậy $Q\ge \frac{1}{4}+\frac{3}{4}$ => $Q\ge 1$

Dấu “=” xảy ra khi x=0

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q=1 khi x=0

VD: tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của $P=-x+\sqrt{x}$ với $x\ge 0$

$P=-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$=-\left( {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-\sqrt{x}+\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{4}$ $=-{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}$

Do ${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\forall x\in \text{D}$

$\Rightarrow -{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le 0$

$\Rightarrow P\le \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy GTLN của $P=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

VD: Tìm GTLN hoặc GTNN của $A=\frac{3}{x-\sqrt{x}+2}\left( x\ge 0 \right)$

Giải

Tử số không thay đổi,ta đánh giá mẫu số

$={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}\ge \frac{7}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $x=\frac{1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất cuả A là $\frac{12}{17}$

VD: tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức $B=\frac{3\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$ VỚI $x\ge 0$

                                                                            $=\frac{\left( 3\sqrt{x}+6 \right)+2}{\sqrt{x}+2}$

                                                                            $=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Do $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2$ $\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 1$ $B=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 4$

Dấu “=” xảy ra khi x=0

Vậy  GTLN của  B = 4 khi x=0

Đề cương khoá học

1. Bài Giảng Học Thử

2. CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN THỨC

3. CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

4. CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

5. CHUYÊN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TRÒN.

6. CHUYÊN ĐỀ 5: HÀM SỐ BẬC HAI

7. CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH

8. CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

9. CHUYÊN ĐỀ 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

10. CHUYÊN ĐỀ 9: Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Hệ phương trình

11. CHUYÊN ĐỀ 11: TỨ GIÁC NỘI TIẾP