a) Ta có $\widehat{BAC}=90{}^\circ$ hay $\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90{}^\circ$
Xét ∆AHC vuông tại H có $\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90{}^\circ$
Khi đó $\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$ (1)
Xét ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM nên $MA=MB=MC=\frac{1}{2}BC$
Xét ∆AMC có AM = MC $\Rightarrow$∆AMC cân tại M $\Rightarrow$ $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$
b) Xét tứ giác ADHE có: $\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=\widehat{ADH}\left( =90{}^\circ \right)$ nên ADHE là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{AEH}=90{}^\circ$ hay $\widehat{AEK}+\widehat{KEH}=90{}^\circ$ (1)
Vì ADHE là hình chữ nhật nên $\widehat{DEH}=\widehat{DAH}$
Mà $\widehat{DAH}=\widehat{MAC}$(theo câu a) nên $\widehat{KEH}=\widehat{MAC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAC}+\widehat{KEA}=90{}^\circ$
Xét ∆AKE có $\widehat{AKE}+\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{AKE}+90{}^\circ =180{}^\circ \Rightarrow \widehat{AKE}=90{}^\circ$
Suy ra $AM\bot DE$tại K
c) Ta có: $BC=BH+HC=4,5+8=12,5\left( cm \right)$
Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH có:
$A{{H}^{2}}=BH.CH=4,5.8=36\Rightarrow AH=6\left( cm \right)$
$A{{B}^{2}}=BH.BC=4,5.12,5=56,25=7,5\left( cm \right)$
$A{{C}^{2}}=HC.BC=8.12,5=100\Rightarrow AC=10\left( cm \right)$
Áp dụng hệ thức lượng cho ∆AHB vuông tại H, đường cao HD có:
$AD.AB=A{{H}^{2}}\Rightarrow AD.7,5={{6}^{2}}\Rightarrow AD=4,8\left( cm \right)$
Áp dụng hệ thức lượng cho ∆AHC vuông tại H, đường cao HE có:
$AE.AC=A{{H}^{2}}\Rightarrow AE.10={{6}^{2}}\Rightarrow AE=3,6\left( cm \right)$
Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ADE vuông tại A, đường cao AK có:
$\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{4,{{8}^{2}}}+\frac{1}{3,{{6}^{2}}}\Rightarrow AK=2,88\left( cm \right)$