Bài 1:
a) Ta có $\left| 2x-\frac{1}{3} \right|\ge 0\forall x$ $\Rightarrow \left| 2x-\frac{1}{3} \right|-1\frac{3}{4}\ge -1\frac{3}{4}\forall x$
Suy ra $A\ge -1\frac{3}{4}\forall x$
Dấu “=” xảy ra khi $2x-\frac{1}{3}=0\Rightarrow 2x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{6}$
Vậy GTNN của A là $-1\frac{3}{4}$ với $x=\frac{1}{6}$
b) Ta có: $\left| 1+2x \right|\ge 0\forall x$ $\Rightarrow \frac{1}{4}\left| 1+2x \right|\ge 0\forall x$ $\Rightarrow -\frac{1}{4}\left| 1+2x \right|\le 0\forall x$ $\Rightarrow 2,25-\frac{1}{4}\left| 1+2x \right|\le 2,25\forall x$
Suy ra $B\le 2,25\forall x$
Dấu “=” xảy ra khi $1+2x=0\Rightarrow x=\frac{-1}{2}$
Vậy GTLN của B là 2,25 khi $x=\frac{-1}{2}$

Bài 2:
Ta có: $2bd=c\left( b+d \right)\Rightarrow \frac{2b}{b+d}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}=\frac{a+c-c}{b+d-d}=\frac{a}{b}$
Vậy $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.