Gọi số cần tìm là x ($x\in $N*)
Do số đó chia cho 3, 4, 5 đều dư 1 nên $x-1\vdots $ 3, 4, 5
Nên $x-1\in $ BC (3, 4, 5)
Mà BC (3, 4, 5) = 3. 4. 5 = 60
$x-1\in $ B (60)
Nên $x-1$ có dạng: $60a$ với ($a\in $N*)
Ta có: $x=60a+1$
Mà $x\vdots 7$ nên $60a+1\vdots 7$
$\Rightarrow 60a+1+7\vdots 7$
$\Rightarrow 56a+4a+8\vdots 7$
Do $56a\vdots 7$ nên $4a+8\vdots 7$
$\Rightarrow 4(a+2)\vdots 7$
$\Rightarrow a+2\vdots 7$
Vậy để a nhỏ nhất $\Leftrightarrow a+2=7$
$\Leftrightarrow a=5$
$\Leftrightarrow x=301$
Vậy số cần tìm là 301.