\[A={{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{2010}}\]
$=\left( {{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}} \right)+\left( {{2}^{4}}+{{2}^{5}}+{{2}^{6}} \right)+...+\left( {{2}^{2008}}+{{2}^{2009}}+{{2}^{2010}} \right)$
$=2\left( 1+2+{{2}^{2}} \right)+{{2}^{4}}\left( 1+2+{{2}^{2}} \right)+...+{{2}^{2008}}\left( 1+2+{{2}^{2}} \right)$
$=\left( 1+2+{{2}^{2}} \right)\left( 2+{{2}^{4}}+...+{{2}^{2008}} \right)$
$=7\left( 2+{{2}^{4}}+...+{{2}^{2008}} \right)$
Suy ra A chia hết cho 7