Ta có: M = (9a + 11b)(5b + 11a)
Do 19 là số nguyên tố nên:
\[\left[ \begin{align}
& 9\text{a}+11\text{b }\vdots \text{ }19 \\
& \text{5b}+11\text{a }\vdots \text{ }19 \\
\end{align} \right.\]
Trường hợp 1. 9a + 11b $\vdots 19$
Do 38 $\vdots 19$ nên 38(a + b) $\vdots 19$
$\Rightarrow 38(\text{a}+\text{b})-3(9\text{a}+11\text{b})\vdots 19$
$\Rightarrow 5\text{b}+11\text{a}\vdots 19$
$\Rightarrow (9\text{a}+11\text{b)}(11\text{a}+5\text{b)}\vdots 19.19$
$\Rightarrow (9\text{a}+11\text{b)}(11\text{a}+5\text{b)}\vdots 361$
Trường hợp 2. 5b + 11a $\vdots 19$
Do 38 $\vdots 19$ nên 38(a + b) $\vdots 19$
$\Rightarrow 38(\text{a}+\text{b})-(11\text{a}+5\text{b})\vdots 19$
$\Rightarrow 27\text{a}+33\text{b}\vdots 19$
\[\Rightarrow 3(9\text{a}+11\text{b)}\vdots 19\]
Do (3, 19) = 1 nên \[9\text{a}+11\text{b}\vdots 19\]
$\Rightarrow (9\text{a}+11\text{b)}(11\text{a}+5\text{b)}\vdots 19.19$
$\Rightarrow (9\text{a}+11\text{b)}(11\text{a}+5\text{b)}\vdots 361$ (ĐPCM)