Ta có: ${{b}^{2}}=ac\Leftrightarrow \frac{b}{c}=\frac{a}{b}$ (1)
${{c}^{2}}=bd\Leftrightarrow \frac{c}{d}=\frac{b}{c}$ (2)
${{d}^{2}}=ce\Leftrightarrow \frac{d}{e}=\frac{c}{d}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}$
a) Ta có: $\frac{{{b}^{2}}}{{{d}^{2}}}=\frac{ac}{ce}=\frac{a}{e}$
Mặt khác:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{d}^{2}}}$
Khi đó: $\frac{a}{e}=\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
Ta có: $\frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{4}}}=\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}.{{c}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{a}{e}$ (4)
Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\Rightarrow \frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{4}}}=\frac{{{b}^{4}}}{{{c}^{4}}}=\frac{{{c}^{4}}}{{{d}^{4}}}=\frac{{{d}^{4}}}{{{e}^{4}}}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{4}}}=\frac{{{b}^{4}}}{{{c}^{4}}}=\frac{{{c}^{4}}}{{{d}^{4}}}=\frac{{{d}^{4}}}{{{e}^{4}}}=\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}}{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}+{{e}^{4}}}$ (5)
Từ (4) và (5) suy ra $\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}}{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}+{{e}^{4}}}=\frac{a}{e}$
b) Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}$
Khi đó $\frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{4}}}={{\left( \frac{a+b+c+d}{b+c+d+e} \right)}^{4}}$ (6)
Từ (4) va (6) suy ra: ${{\left( \frac{a+b+c+d}{b+c+d+e} \right)}^{4}}=\frac{a}{e}$