Bài 4. a) Xét ∆$ABC$ : $\widehat{BAC}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{B}-\widehat{C}={{70}^{{}^\circ }}$
$AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{DAC}=\widehat{BAD}=\frac{\widehat{BAC}}{2}={{35}^{{}^\circ }}$
Xét ∆$ACD: \widehat{ADC}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{C}-\widehat{DAC}={{105}^{{}^\circ }}$
b) Do $DF // AE$ nên $\widehat{FDA}=\widehat{DAE}$ (2 góc so le trong)
Do $AF // DE$ nên $\widehat{FAD}=\widehat{ADE}$ (2 góc so le trong)
Mà $\widehat{FAD}=\widehat{DAE}$ ($AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$) nên $\widehat{FDA}=\widehat{ADE}=\widehat{FAD}.$
Suy ra $\widehat{FDE}=2.\widehat{FAD}=\widehat{BAC}.$
$DF // AB$ nên $\widehat{CDF}=\widehat{ABC}$ (2 góc đồng vị)
Mà $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}={{70}^{{}^\circ }}$ nên $\widehat{FDE}=\widehat{CDF}.$
Vậy $DF$ là tia phân giác của $\widehat{EDC}.$
Bài 5. Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\Rightarrow x=y=z$
$\Rightarrow A=\frac{2013{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2013{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}=1$
Vậy $A = 1.$