$P={{2}^{{{2}^{n+1}}}}-1={{2}^{{{2}^{n}}.2}}-1={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{{2}^{n}}}}-1={{4}^{{{2}^{n}}}}-1$

$={{4}^{{{2}^{n}}}}-{{1}^{{{2}^{n}}}}=\left( {{4}^{2}}-1 \right)\left( {{4}^{{{2}^{(n-1)}}}}+{{4}^{{{2}^{(n-2)}}}}+...+{{4}^{^{{{2}^{1}}}}} \right)$

$=15\left( {{4}^{{{2}^{(n-1)}}}}+{{4}^{{{2}^{(n-2)}}}}+...+{{4}^{{{2}^{1}}}} \right)\vdots 15$

Vậy P chia hết cho 15