Xét tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH.
$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay $\frac{1}{A{{H}^{2}}.AH}=\frac{1}{A{{B}^{2}}.AH}+\frac{1}{A{{C}^{2}}.AH}$
+) Có $AH < AB$ (đường cao ngắn hơn đường xiên)
Nên $A{{B}^{2}}.AH < A{{B}^{2}}.AB$ hay $A{{B}^{2}}.AH < A{{B}^{3}}$
$\Rightarrow \frac{1}{A{{B}^{2}}.AH} > \frac{1}{A{{B}^{3}}}\quad \quad (1)$
+) Có $AH < AC$
Nên $A{{C}^{2}}.AH < A{{C}^{2}}.AC$ hay $A{{C}^{2}}.AH < A{{C}^{3}}$
$\Rightarrow \frac{1}{A{{C}^{2}}.AH} > \frac{1}{A{{C}^{3}}}\quad \quad \left( 2 \right)$
Từ (1) (2) $\frac{1}{A{{B}^{2}}.AH}+\frac{1}{A{{C}^{2}}.AH} > \frac{1}{A{{B}^{3}}}+\frac{1}{A{{C}^{3}}}$ mà $\frac{1}{A{{H}^{2}}.AH}=\frac{1}{A{{B}^{2}}.AH}+\frac{1}{A{{C}^{2}}.AH}$
Suy ra: $\frac{1}{A{{H}^{3}}} > \frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}.$