Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{a}{c}.\frac{a}{c}\Leftrightarrow \frac{ab}{cd}=\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$ (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}={{\left( \frac{a+b}{c+d} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{(a+b)}^{2}}}{{{(c+d)}^{2}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{ab}{cd}=\frac{{{(a+b)}^{2}}}{{{(c+d)}^{2}}}$