a) $S=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{200}}$

$2S=2.\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{200}} \right)$

$2S=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{200}}+{{2}^{201}}$

$2S-S=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{200}}+{{2}^{201}}-\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{200}} \right)$

$S={{2}^{201}}-1$

$S={{2.2}^{4.50}}-1=2.{{({{2}^{4}})}^{50}}-1=2\times \overline{....6}-1=\overline{....12}-1=\overline{....11}$

S có tận cùng là 11 nên không phải là số chính phương .

b) $S=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+....+{{2}^{200}}$

$S=1+(2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}})+({{2}^{5}}+{{2}^{6}}+{{2}^{7}}+{{2}^{8}})+....+({{2}^{197}}+{{2}^{198}}+{{2}^{199}}+{{2}^{200}})$

$S=1+({{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}})+{{2}^{4}}({{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}})+....+{{2}^{196}}({{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}})$

$S=1+30+{{2}^{4}}.30+....+{{2}^{196}}.30$

$S=1+30.\left( 1+{{2}^{4}}+....+{{2}^{196}} \right)$

Vì $30.\left( 1+{{2}^{4}}+....+{{2}^{196}} \right)$ chia hêt cho 3 nên $1+30.\left( 1+{{2}^{4}}+....+{{2}^{196}} \right)$ chia 3 dư 1 .

Vậy S chia 3 dư 1.