Hạ $BE\bot CD$ $(E\in CD)$
Xét $\vartriangle BCD$vuông tại $B$có $BE\bot CD$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$B{{E}^{2}}=DE.EC$ hay $DE.ED={{12}^{2}}=144cm$ (*)
Ta có:
$\begin{align} & DE+EC=CD=25cm \\ & \Rightarrow DE=25-EC \\ \end{align}$
Thay vào (*) ta có: $(25-EC).EC=144$
$\Rightarrow 25EC-E{{C}^{2}}=144$
$\Rightarrow E{{C}^{2}}-25EC+144=0$
$\Rightarrow \left( EC-9 \right)\left( EC-16 \right)=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{align} & EC=9 \\ & EC=16 \\ \end{align} \right.$
Nếu $EC=9cm\Rightarrow DE=16cm$
Xét tứ giác $ABED$có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{o}}$nên là hình chữ nhật
$\Rightarrow AB=DE;\,AD=BE$
Hay $AB=16cm$ và $BE=12cm$
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $BED$, ta có: $B{{D}^{2}}=B{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}={{12}^{2}}+{{16}^{2}}=400$
$\Rightarrow BD=20cm$
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $BEC$, ta có: $B{{C}^{2}}=B{{E}^{2}}+C{{E}^{2}}={{12}^{2}}+{{9}^{2}}=225$
$\Rightarrow BC=15cm$
Tương tự với trường hợp $EC=16cm\Rightarrow DE=9cm$
Ta suy ra: $AB=9cm;\,BD=15cm$ và $BC=20cm$