Ta có : AD là phân giác góc A nên :
\[\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\]\[\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\]
\[BC=BD+DC=15+20=35\,\,cm\]

Áp dụng pitago trong tam giác vuông ABC :
\[B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}\]\[={{\left( \frac{3}{4}AC \right)}^{2}}+A{{C}^{2}}={{35}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{5}{4}AC \right)}^{2}}={{35}^{2}}\Rightarrow AC=28\,\,cm\]
\[\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC=21\,cm\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC :
\[A{{B}^{2}}=BH.BC\]\[\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{21}^{2}}}{35}=12,6\,cm\]
\[HC=BC-BH=35-12,6=22,4\,\,cm\]

Giúp mình với mọi người ơi

2.
Ta có : \[\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}\Rightarrow HC=4HB\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC :
\[A{{H}^{2}}=BH.HC=BH.4BH=4B{{H}^{2}}\]\[\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AH=7\,cm\] \[\Rightarrow CH=4BH=28\,cm\]
\[BC=BH+HC=35\,cm\]
\[A{{B}^{2}}=BH.BC=7.35=245\Rightarrow AB=7\sqrt{5}\]
\[A{{C}^{2}}=CH.BC=28.35=980\Rightarrow AC=14\sqrt{5}\]
Chu vi tam giác ABC là :
\[AB+BC+AC=7\sqrt{5}+35+14\sqrt{5}=81,96\,\,cm\]

3.
Tam giác ABD vuông tại A có AO là đường cao:
\[\frac{1}{O{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\]

⇒AO=12(cm)
Tam giác OAB vuông tại O:
\[A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}\]
⇒OB=9(cm)
Tam giác OAD vuông tại O:
\[A{{D}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{D}^{2}}\]
⇒OD=16(cm)
Tam giác DAC vuông tại D có DO là đường cao:
\[A{{D}^{2}}=OA.AC\]
⇒AC=\[\frac{100}{3}\] (cm)
Tam giác DAC vuông tại D có:
\[A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}\]
⇒DC= \[\frac{80}{3}\](cm)
S ABCD =12×(AB+CD)×AD=\[\frac{1250}{3}\](cm2)