Bài giải:

Ta cần chứng   minh:

A = ( a − b ) ( a − c ) ( a − d ) (b − c ) (b − d ) ( c − d ) chia hết cho 12.

Nhận xét:

Khi chia một số cho 3 nhận được số dư là 1 trong 3 số 0, 1, 2.

 Với 4 số a, b, c, d  mà có 3 số dư nên luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3, suy ra hiệu của hai số này chia hết cho 3. Vậy A chia hết cho 3. (1)

Để chứng minh A chia hết cho 12 ta chỉ cần chứng minh A chia hết cho 4. Xét hai khả năng  sau đây:

+Nếu trong 4 số a, b, c, d tồn tại 3 số có cùng tích chẵn lẽ, chẳng hạn là các số a, b,c.

Khi  đó  ( a − b ) ( a − c )(b − c ) chia hết cho  8, suy ra  A chia hết  cho  8,  tức  là  A chia  hết  cho  4.

+ Nếu trong 4 số  a, b, c, d  không có 3 số nào cùng tính chẵn  lẻ, suy ra trong 4 số này có 2 số chẵn  và 2 số lẻ. Khi đó hiệu của hai số chẵn là một số chẵn và hiệu của hai số lẻ là một số chẵn nữa, tích của hai chữ số chẵ đóchia hết cho 4, suy ra A chia hết cho 4.

Vậy A = ( a − b ) ( a − c ) ( a − d ) (b − c ) (b − d ) ( c − d ) luôn chia hết cho 12 (Điều cần chứng  minh)