Bài giải:

Giả sử viết thêm một số có 1 chữ số a vào bên phải số 261 thì ta được $\overline{261a}$ .

Và ta có $\overline{261a}$ < 2014 x 2 = 4028. Vậy nên $\overline{261a}$ không thể chia hết cho 2014. Do đó, ít nhất số viết thêm phải có 2 chữ số.

Gọi số viết thêm vào bên phải 261 là ab thì được: $\overline{261ab}$.

Ta có: $\overline{261ab}$= 26100 + $\overline{ab}$ .

Mà 26100 : 2014 = 12 dư 1932. Để $\overline{261ab}$ hay (26100 + $\overline{ab}$) chia hết cho 2014 thì (1932 + $\overline{ab}$) chia hết cho 2014. Từ đây suy ra $\overline{ab}$ nhỏ nhất cần tìm khi: 

1932 + $\overline{ab}$ = 2014

=> $\overline{ab}$ = 2014 - 1932 = 82.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là: 82