Bài giải:

a)BM = $\frac{1}{3}$ BC nên MC = $\frac{2}{3}$ BC

Tam giác MKC và tam giác BKC có chung chiều cao hạ từ K, đáy MC = $\frac{2}{3}$  BC nên tỉ số diện tích của tam giác MKC và tam giác BKC là $\frac{2}{3}$

b)AK = $\frac{1}{4}$ AM nên KM = 3AK

Tam giác MKC và tam giác AKC có chung chiều cao hạ từ C, đáy KM = 3KA nên tỉ số diện tích của tam giác MKC và tam giác AKC là 3

c) Từ kết quả của câu a và câu b suy ra tỉ số diện tích của tam giác BKC và tam giác AKC là $\frac{3}{1}:\frac{2}{3}=\frac{9}{2}$

Hai tam giác này lại chung đáy KC nên chiều cao hạ từ B xuống KC bằng $\frac{9}{2}$ chiều cao hạ từ A xuống KC. Tam giác BKH và tam giác AKH có chung đáy KH, chiều cao hạ từ B bằng $\frac{9}{2}$chiều cao hạ từ A nên ${{S}_{BKH}}=\frac{9}{2}{{S}_{AKH}}$

Mặt khác, nếu xem BH, AH là các cạnh của hai tam giác này thì chúng có chung chiều cao hạ từ K. Kết hợp hai điều trên ta suy ra: BH=$\frac{9}{2}$ Ah hay $\frac{AH}{BH}=\frac{9}{2}$