Bài giải:

a, Ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{AB\times AC}{2}(1)$

BM = $\frac{1}{3}$ AB => AM = $\frac{2}{3}$ AB

Ta có:

${{S}_{AMN}}=\frac{AM\times AN}{2}=\frac{1}{2}\times \left( \frac{2}{3}AB \right)\times \left( \frac{1}{4}AC \right)$ 

        = $\frac{1}{12}\times AB\times AC=\frac{1}{6}\times \frac{AB\times AC}{2}(2)$

Từ (1),(2): ${{S}_{AMN}}=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}(3)$

Vì ${{S}_{AMN}}+{{S}_{MNCB}}={{S}_{ABC}}$ nên ${{S}_{MNCB}}=\frac{5}{6}{{S}_{ABC}}$

b,Nối A và E. Vì E là điểm chính giữa BC nên BE = EC = $\frac{1}{2}$ BC

Ta có:

${{S}_{EMB}}=\frac{1}{3}{{S}_{EAB}}$ ( vì có chung chiều cao hạ từ E và có đáy MB = $\frac{1}{3}$ AB)

${{S}_{EAB}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}$( vì có chung chiều cao hạ từ A và có đáy BE = $\frac{1}{2}$ BC)

Suy ra: ${{S}_{EMB}}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}(4)$

Từ (3), (4): ${{S}_{AMN}}={{S}_{EMB}}$

c, Vì AN = $\frac{1}{4}$ AC nên NC = $\frac{3}{4}$ AC

Ta có:

${{S}_{ENC}}=\frac{3}{4}{{S}_{AEC}}$ ( vì có chung chiều cao hạ từ E và có đáy NC = $\frac{3}{4}$ AC)

${{S}_{AEC}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}$ ( vì có chung chiều cao hạ từ A và có đáy EC = $\frac{1}{2}$ BC)

Suy ra: ${{S}_{ENB}}=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{3}{8}{{S}_{ABC}}(5)$

Ta có: ${{S}_{EMN}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{AMN}}-{{S}_{EMB}}-{{S}_{ENC}}$

Từ (3), (4) và (5) ta có: ${{S}_{EMN}}={{S}_{ABC}}-\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}-\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}-\frac{3}{8}{{S}_{ABC}}$

                                               =$(1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{3}{8})\times {{S}_{ABC}}$

                                               =$\frac{7}{24}{{S}_{ABC}}=\frac{7}{24}\times 24=7(c{{m}^{2}})$