Bài giải:

$AB=\frac{1}{2}CD\Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{1}{2};AO=\frac{1}{3}AC\Rightarrow \frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$

Xét $\Delta AOB$ và $\Delta COD$ có:

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}={{90}^{0}}$

$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$

Vậy $\Delta AOB\backsim \Delta COD$ (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \frac{{{S}_{AOB}}}{{{S}_{COD}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow {{S}_{COD}}=4{{a}^{2}}$

Vì $\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$ nên ${{S}_{BOC}}=2{{S}_{AOB}}=2{{a}^{2}}$

Tương tự, ${{S}_{AOD}}=2{{a}^{2}}$

Do đó ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}=9{{a}^{2}}$

Đáp án đúng là C