Bài giải:

Gọi AB = 3x, AC = 4x

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{9{{x}^{2}}}+\frac{1}{16{{x}^{2}}}=\frac{1}{81}\Leftrightarrow 144+81=16{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{225}{16}\Rightarrow x=3,75$

Tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pi ta go ta có:

$A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Leftrightarrow H{{C}^{2}}={{(4.3,75)}^{2}}-{{9}^{2}}=144\Rightarrow HC=12cm$