Bài giải:

Từ M kẻ MH vuông góc với BC; từ A kẻ AK vuông góc với BC.

Do đó: MH // AK.

Ta có: $\frac{AM}{BM}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{AC}=\frac{1}{3}$ và $\frac{BM}{BA}=\frac{NC}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{2}{3}$

Ta có: MH // AK nên $\frac{MH}{AK}=\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$ .

$\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.BN}{\frac{1}{2}.AK.BC}=\frac{MH}{AK}.\frac{BN}{BC}$ = $\frac{2}{3}$ . $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{9}$ .

Chứng minh tương tự: $\frac{{{S}_{NPC}}}{{{S}_{ABC}}}$ = $\frac{2}{9}$; $\frac{{{S}_{AMP}}}{{{S}_{ABC}}}$ = $\frac{2}{9}$

Lại có: S_ABC = S_BMN + S_AMP + S_PNC + S_MNP

$\Rightarrow $ S_MNP = S_ABC – S_BMN – S_AMP – S_PNC = (1 - $\frac{2}{9}$- $\frac{2}{9}$- $\frac{2}{9}$). S_ABC = $\frac{1}{3}$ . S_ABC = $\frac{1}{3}$. 27 = 9 (cm²)

Vậy diện tích tam giác MNP là: 9 cm²