Bài giải:

ĐKXĐ:  x $\ne $0; x $\ne $$-\frac{1}{2}$

$\frac{1+{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}}$= $\left( 1+{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right):\left( 2+\frac{1}{x} \right)$ = $\frac{x+{{x}^{3}}+1}{x}:\frac{2x+1}{x}$

= $\frac{x+{{x}^{3}}+1}{x}.\frac{x}{2x+1}$ = $\frac{x+{{x}^{3}}+1}{2x+1}$

Để giá trị của biểu thức bằng 1 thì $\frac{x+{{x}^{3}}+1}{2x+1}$= 1

$\Leftrightarrow $ x + x³ + 1 = 2x + 1

$\Leftrightarrow $x³ – x = 0

$\Leftrightarrow $x(x – 1)(x + 1) = 0

$\left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$

Mà x $\ne $0; x $\ne $$-\frac{1}{2}$ và x > 0 nên x = 1

Vậy x = 1