Bài giải:

$\frac{x-{{x}^{2}}}{4}$

= $\frac{-({{x}^{2}}-x)}{4}$

= $\frac{-\left( {{x}^{2}}-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right)}{4}$

= $\frac{-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}}{4}$

= $\frac{-1}{4}{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{16}$

Mà: $\frac{-1}{4}{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le 0$   với mọi x

Suy ra: $\frac{-1}{4}{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{16}$  $\le \frac{1}{16}$   với mọi x

Vậy giá trị lớn nhất của phân thức là: $\frac{1}{16}$