Bài giải:

$\frac{5x-{{x}^{2}}}{2}$= $\frac{-({{x}^{2}}-5x)}{2}$

= $\frac{-\left( {{x}^{2}}-2.x.\frac{5}{2}+\frac{25}{4}-\frac{25}{4} \right)}{2}$

= $\frac{-{{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{25}{4}}{2}$

= $\frac{-1}{2}{{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{25}{8}$

Mà: $\frac{-1}{2}{{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}\le 0$  với mọi x

Suy ra: $\frac{-1}{2}{{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{25}{8}$  $\le \frac{25}{8}$   với mọi x

Vậy giá trị lớn nhất của phân thức là: $\frac{25}{8}$