Bài giải:

 $\frac{8{{x}^{2}}+x+1}{31}$ = $\frac{8\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{8} \right)}{31}$

= $\frac{8\left( {{x}^{2}}+2.\frac{1}{16}x+\frac{1}{256}+\frac{31}{256} \right)}{31}$

= $\frac{8{{\left( x+\frac{1}{16} \right)}^{2}}+\frac{31}{32}}{31}$

= $\frac{8}{31}{{\left( x+\frac{1}{16} \right)}^{2}}+\frac{1}{32}$

Mà: $\frac{8}{31}{{\left( x+\frac{1}{16} \right)}^{2}}\ge 0$  với mọi x

Suy ra: $\frac{8}{31}{{\left( x+\frac{1}{16} \right)}^{2}}+\frac{1}{32}$ $\ge \frac{1}{32}$   với mọi x

Vậy giá trị nhỏ nhất của phân thức là: $\frac{1}{32}$