HD: $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.h=\frac{2{{a}^{3}}}{3}\Rightarrow h=SA=2a$

Gọi  $O=AC\cap BD$.Ta có:$\left\{ \begin{align}  & BD\bot AO \\  & BD\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot (SAO)\Rightarrow (SBD)\bot (SAO)$

Kẻ : $AH\bot SO\Rightarrow AH\bot (SBD)$

Hay  AH=d(A;(SBD)).   $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}=\frac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{2a}{3}$

Vậy: d(A;(SBD))= $\frac{2a}{3}$.  Chọn  đáp án  A.