Gọi I,J,K,H,M,N lần lượt là trung trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD. Theo tính chất hình bình hành ta chứng minh được IK, JH, MN cắt nhau tại trng điểm của mỗi đường, gọi giao điểm là O.

Vì ABCD là tứ diện đều

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & OI=OJ=OK=OH=OM=ON \\  & OI\bot AB,OK\bot CD,OM\bot AC,ON\bot BC \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow $ O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh tứ diện ABCD.

Xét hình vuông IJKH cạnh $IH=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow OI=\frac{\sqrt{2}}{2}IH=\frac{a\sqrt{2}}{4}=R$

$\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{2}}{24}$ .

Đáp án: B