Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x-m$.

       Hàm số có CĐ, CT $\Leftrightarrow y'=3{{x}^{2}}-6x-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$

                                       $\Leftrightarrow \Delta '=9+3m>0\Leftrightarrow m>-3$ (*)

       Gọi hai điểm cực trị là $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$

       Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: $y=\left( \frac{1}{3}x-\frac{1}{3} \right)y'+\left( \frac{2m}{3}-2 \right)x+\left( 2+\frac{m}{3} \right)$

       $\Rightarrow $  ${{y}_{1}}=y({{x}_{1}})=\left( \frac{2m}{3}-2 \right){{x}_{1}}+2+\frac{m}{3};\,\,{{y}_{2}}=y({{x}_{2}})=\left( \frac{2m}{3}-2 \right){{x}_{2}}+2+\frac{m}{3}$

       $\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:$y=\left( \frac{2m}{3}-2 \right)x+2+\frac{m}{3}$

       Các điểm cực trị cách đều đường thẳng $y=x-1$$\Leftrightarrow $xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

       TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng $y=x-1$        $\Leftrightarrow \frac{2m}{3}-2=1\Leftrightarrow m=\frac{9}{2}$ (không thỏa (*))

       TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng $y=x-1$

             $\Leftrightarrow {{y}_{I}}={{x}_{I}}-1\Leftrightarrow \frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}-1\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{3}-2 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2\left( 2+\frac{m}{3} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{3}-2 \right).2+2\left( 2+\frac{m}{3} \right)=0\Leftrightarrow m=0$

       Vậy các giá trị cần tìm của m là: $m=0$.

Chọn đáp án A