Tính tích phân: $F=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}}$

Đặt x = tant, tÎ$\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$, viết tích phân theo biến t và các cận mới t=0, $t=\frac{\pi }{4}$ rồi tính tích phân mới nhận được

Từ x = tant ta có: $dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$

Do đó:

$F=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{dt}=t|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}.$