Gọi $BD=x\text{ }km$; $DC=y\text{ }km$. Khi đó $BC=BD+DC=x+y=5$

Xét tam giác ABD vuông tại B có $AD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+9}$

Thời hạn bạn Hoa đi từ $A\to D$ là ${{t}_{A\to D}}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4}h$. Thời gian bạn Hoa đi từ $D\to C$ là ${{t}_{D\to C}}=\frac{y}{5}h$

Khi đó tổng thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến trường là $T=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4}+\frac{y}{5}=f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4}+\frac{5-x}{5}$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4}+\frac{5-x}{5}$, có $f'\left( x \right)=\frac{x}{4\sqrt{{{x}^{2}}+9}}-\frac{1}{5};f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 5x=4\sqrt{{{x}^{2}}+9}$ $\Leftrightarrow x=4$ .

Dựa vào  bảng biến thiên, ta được $\min f\left( x \right)=f\left( 4 \right)=\frac{29}{20}=87$ phút.

Do đó bạn Hoa phải xuất phát muộn nhất từ nhà lúc 6h03 phút để có mặt ở trường lúc 7h30 phút.