Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{{{\log }_{2}}\left( 4-x \right)-1}$

Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{{{e}^{x}}+2}{\sin x}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):3x-3y+4z+16=0$ , đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-5}{-1}$ và điểm M(2 ;3 ;1). Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d, B là hình chiểu của A trên mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm A biết tam giác MAB cân tại M.

Một học sinh thực hiện giải bài toán: “So sánh ${{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{\sqrt{2}}}$ và ${{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{-\sqrt{3}}}$” lần lượt như sau:

1. Ta có, từ bất đẳng thức hiển nhiên ${{\pi }^{2}}<10$, suy ra $0<\frac{{{\pi }^{2}}}{10}<1\Rightarrow {{\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{10} \right)}^{\sqrt{2}}}<1={{\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{10} \right)}^{0}}$
2. Suy ra ${{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{\sqrt{2}}}.{{\left( \frac{\pi }{5} \right)}^{\sqrt{2}}}<1\Rightarrow {{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{\sqrt{2}}}<{{\left( \frac{\pi }{5} \right)}^{-\sqrt{2}}}$.
3. Mà $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$ nên ${{\left( \frac{\pi }{5} \right)}^{-\sqrt{2}}}>{{\left( \frac{\pi }{5} \right)}^{-\sqrt{3}}}$. Vậy ${{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{\sqrt{2}}}>{{\left( \frac{\pi }{5} \right)}^{-\sqrt{3}}}$

Lý luận trên:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng $(P):2x+y-z-3=0$ và$(Q):x+y+z-1=0$. Phương trình chính tắc đường giao tuyển của hai mặt phẳng (P) và (Q) là :

Số nghiệm của phương trình ${{2}^{2{{x}^{2}}-7x+1}}=1$ là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(0 ;2 ;0) và hai đường thẳng d₁ ;d₂ có phương trình ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{1}$ ; $\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}$. Viết phương trình mặt phẳng (P)  đi qua M, song song với trục Ox, sao cho (P) cât d₁ ;d₂ lần lượt tại A,B sao cho AB=1

Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức $S=A.{{e}^{Nr}}$ (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người. (Kết quả có thể tính ở mức xấp xỉ)

Trong không gian Oxyz mặt phẳng song song với hai đường thẳng

${{\Delta }_{1}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{4}$ ; ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=3+2t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right.$ có một vectơ pháp tuyến là :

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{x\left( 2+x \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}?$

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ;6 ;2), B(5 ;1 ;3), C(5 ;0 ;4), phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) :

Trong không gian Oxyz đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương $\overset{\to }{\mathop{u}}\,(1;2;3)$ có phương trình :

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình:$x+y-2z-6=0$ . Mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng(P), H là tiếp điểm của (S) và (P). Nhận xét nào sau đây đúng ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(1;0;2)$ , $b(2;1;1)$và mặt phẳng (P) :$2x+y-2z+4=0$ . Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I nằm trên đường thẳng AB, bán kính bằng 4 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) ; biết tâm I có hoành độ dương.

Tìm câu sai ?

Cho $\overset{\to }{\mathop{m}}\,=(1;0;-1)$ ; $\overset{\to }{\mathop{n}}\,=(0;1;1)$. Kết luận nào sau đây sai :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD ?

Gọi N(t) ($ml/$phút) là tốc độ rò rỉ dầu từ cái thùng tại thời điểm t. Biết $N'\left( t \right)=t{{\left( t-1 \right)}^{2}}$ . Khi đó lượng dầu rò rỉ ra trong một tiếng đầu tiên là:

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong $y={{x}^{2}}$ và $y=\sqrt{x}$ quanh trục Ox.

Trong ngày trung thu, bố bạn Nam đem về cho bạn Nam một chiếc bánh trung thu. Nam rất vui vẻ vì điều đó, tuy nhiên để kích thích tinh thần toán học của bạn Nam, bố bạn Nam đưa ra một bài toán như sau : Giả sử chiếc bánh có hình trụ đứng, đày là hình tròn đường kính 12cm, chiều cao 2cm. Bạn Nam phải cắt chiếc bánh thành 3 phần bằng nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc. Nam chỉ được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phải vuông góc với đáy và song song với nhau. Như vậy, theo cách cắt thì sẽ có hai miếng giống nhau và một việc khác hình thù, 3 miếng có cùng chung thể tích. Hỏi khoảng cách giữa 2 mặt phẳng nhát cắt gần nhất với giá trị bao nhiêu ?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=0;x=1$

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi diện tích S₁, các tứ giác ACC’A’ và BDD’B’ có diện tích lần lượt là S₂, S₃. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ tính theo S₁, S₂, S₃ là ?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Nhận định nào sau đây không đúng :

Tính tích phân $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 3x{{\cos }^{2}}2xdx}$